Algorithmen und rekursive Funktionen by A. I. Malcev (auth.)

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Noch in den 30er Jahren unseres Jahrhunderts erweckten die mathematische Logik und die damals entstehende Algorithmentheorie den Anschein besonders abstrakter und von praktischen Anwendungen besonders weit entfernter mathe­ matischer Disziplinen. Heute hat sich die state of affairs radikal verändert. Es ist jetzt allgemein anerkannt, daß die beiden genannten Disziplinen eine theoretische Grundlage für Aufbau und Anwendungen schnell arbeitender Rechen-und Steu­ erungssysteme schaffen. Das relative Gewicht der mathematischen Logik und der Algorithmentheorie wuchs auch in der Mathematik selbst stark an. Darüber hinaus dringen gegenwärtig in beträchtlichem Maße durch die Algorithmentheorie und die mathematische Logik mathematische Methoden in die Biologie, die Lin­ guistik, die Wirtschaftswissenschaften und sogar Philosophie der Naturwissen­ schaften ein. All dies hat dazu geführt, daß die mathematische Logik und die Algorithmentheorie angefangen haben, in die Lehrpläne unserer Universitäten und pädagogischen Hochschulen als für das Studium der Mathematikstudenten aller Fachrichtungen obligatorische Disziplin einzudringen. Das vorliegende Buch ist aus der Bearbeitung von Nachschriften von Vorlesun­ gen über mathematische Logik, Algorithmentheorie und deren Anwendungen ent­ standen, die der Verfasser in den Jahren 1956-1959 an der pädagogischen Hoch­ schule von lvanovsk und seit dem Jahr 1960 an der Universität Novosibirsk gehalten hat. In ihm wird nur die allgemeine Theorie der Algorithmen und der rekursiven Funktionen entwickelt. Ganz außerhalb des Rahmens des Buches blieben die Komplexe automobile· matentheorie, Anwendungen der Algorithmentheorie auf formale Theorien und Theorie der Unlösbarkeitsgrade. Eine irgendwie ausführliche Darstellung dieser Disziplinen zum gegenwärtigen Zeitpunkt bedarf besonderer Einzeldar­ stellungen.

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Dem Funktionszeichen f und einer Objektvariablen aufgebaut ist; denn so sind lediglich j, die leere Abbildung und die totale Identitätsfunktion der Menge {a, b} darstellbar, wie man sich leicht überlegt. im russischen Original ist Theorem 1 ohne Hinzunahme der Funktionen Imi formuliert worden. -J. HoEHNKE zurück. -J. -J. ): Studien zur Algebra und illre Anwendungen, Akademie-Verlag, Berlin 1972, pp. 13-32 (Anm. d. ). 14 2. Grundlegende berechenbare Operatoren Symbole li> ••• , 1,, Im" dienen (Terme dieser Gestalt werden wir Operatorterme nennen); in der Form eines Terms (und nicht des Wertes eines Terms), der aus den Funktionszeichen ft, ...

7. Wird der Wert einer primitiv rekursiven, partiell rekursiven oder allgemein rekursiven Funktion nur in einer endlichen Menge von Punkten verändert, so ist die neue Funktion wieder respektive primitiv rekursiv, partiell rekursiv oder allgemein rekursiv. 8. Man zeige, daß jede a) endliche Gesamtheit von Zahlen; b) Gesamtheit der Zahlen der Gestalt an+ b (n = 0, 1, 2, •••); c) Gesamtheit der Zahlen der Gestalt a · b" (n = 0, 1, 2, ... )primitiv rekursiv ist. 9. Man zeige, daß der Definitionsbereich einer einstelligen partiell rekursiven Funktion eine partiell rekursive Menge ist.

Deshalb sind die Funktionen sg und sg primitiv rekursiv. Im Bereich der natürlichen Zahlen wird die Differenz x - y natürlicherweise als partielle zweistellige Funktion von x, y betrachtet, die nur für x ;;;::: y definiert ist, weil negative Zahlen in dem betrachteten Bereich nicht vorkommen. Die primitiv rekursiven Funktionen sind jedoch überall definiert. Deshalb führt man in der Theorie der rekursiven Funktionen statt der gewöhnlichen Differenz eine modifizierte Differenz ein, die mit dem Symbol -'- bezeichnet und durch die Formel X-'-Y= { ::c- y, falls x ~ y, 0, falls x < y (6) definiert wird.

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