Algebraische und zahlentheoretische Grundlagen für die by Kurt-Ulrich Witt

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By Kurt-Ulrich Witt

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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B ist also Teiler von a und kleiner als p, was ein Widerspruch zu der Annahme ist, dass p kleinster Teiler von a ist, womit unsere Annahme widerlegt und unsere Behauptung bewiesen ist. 10 P enth¨alt unendlich viele Elemente. Beweis Wir nehmen an, dass es nur endlich viele Primzahlen p1 , p2 , . . , pn , n ≥ 1, gibt. Wir bilden nun die Zahl p = p1 · p 2 · . . · pn + 1 Es folgt sofort, dass keine der Zahlen p1 , p2 , . . , pn ein Teiler von p ist. 9) eine Primzahl sein. Es gibt also außer den Primzahlen p1 , p2 , .

A Beweis a) “⇒“: Diese Richtung ist offensichtlich. ⇐ “: GU muss assoziativ sein, sonst w¨are G nicht assoziativ. Wir setzen b = a, ” −1 dann ist a ∗ a ∈ GU , also e ∈ GU , GU enth¨alt also das Einselement. Wir setzen −1 −1 jetzt b = e, dann ist a ∗ e ∈ GU , also a ∈ GU , zu a enth¨alt GU also das Inverse −1 a . h. ist x, y ∈ GU , dann ist −1 auch x ∗ y ∈ GU : Setze a = x sowie b = y, dann ist a, b ∈ GU und damit −1 a ∗ b ∈ GU , also x ∗ y ∈ GU . b) anaolog zu a). −1 c) Wir wenden b) an und zeigen, dass aus x, y ∈ a folgt: x ∗ y ∈ a .

22. Index 54 Faktorisierung von Gruppen (4) folgt unmittelbar aus (2) und (3): G wird vollst¨andig, disjunkt u¨ berdeckt von allen Nebenklassen, und diese besitzen alle dieselbe Anzahl von Elementen, n¨amlich genau |U | viele. h. die Anzahl der Elemente in der Faktorgruppe G/GU ist. (5) folgt unmittelbar aus (4). (6) ist offensichtlich: In G/G{e} bildet jedes Element a ∈ G eine Nebenklasse {a}. In G/G ist G die einzige Nebenklasse. (7) Da GU nicht trivial ist, muss 2 ≤ |U | < |G|, also |G|≥ 3 sein.

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